Маємо в руках метод математичної експертизи офіційних підсумків голосування, оголошених ЦВК. За допомогою експертних оцінок ми протягом багатьох років вивчаємо електоральні лабіринти – і, на жаль, виявляємо те, що математики називають аномаліями і за чим ховаються фальсифікації.

1. "Числа не урядують світом; вони лише показують, як таке урядування здійснюється”, – писав Гете. Кожне число складається з цифр, як слово зі звуків (букв). Голосні й приголосні – дві категорії, на які поділяють складники слова мовознавці.

Для математиків певним відповідником цього є числа парні та непарні (ті, що діляться й не діляться на 2). Число може мати скільки завгодно цифр (сто, мільйон, мільярд і т.д.), але його парність визначає одна остання цифра (вона має ділиться на 2 або дорівнювати 0).

Окрім класифікації окремого числа (за ознакою парності), остання цифра дозволяє зробити певну оцінку сукупності чисел (числового масиву). Відомо, що парним (або непарним) є кожне друге число. Гортаючи книгу і помітивши, що кількість сторінок позначених непарним числом, перевищує кількість парних більше, ніж на одну, можна не сумніватися: типографський брак. Для цього діагнозу не маємо потреби читати весь текст і виявляти його нелогічності чи повтори. Свою "фішку” має і перша цифра; власне про її особливості йдеться при діагностиці виборчих фальсифікацій.

Почнемо – не дивуйтеся – з астрономії. Як свідчать довідники, в небі північної та південної півкуль налічується загалом 86 сузір’їв, які ми можемо спостерігати неозброєним оком. Це й знайомі нам Чумацький Віз (Большая Медведица) чи Волосожир (Стожары), і такі зоряні конгломерати, назви яких незвичні для вуха – Великий Пес, Гідра, Жираф тощо.

Зробимо те, чого не робили астрономи: підрахуємо кількість окремих зірок у кожному сузір’ї і подивимося на частісний розподіл 86 перших цифр. Виявляється цікава закономірність, яка в сучасній математиці має назву принцип Бенфорда: цифра 1 (і близькі до неї) зустрічається набагато частіше, ніж цифра 9 (і близькі до неї). Так, блок із трьох найменших перших цифр (1,2,3) включає 61 сузір’я, трьох проміжних (4,5,6) – 17 сузір’їв, блок трьох найбільших (7,8,9) – лише 8 зоряних скупчень. Сам Ф. Бендорд (1938) підтвердив цю закономірність на 20 тисячах (!) числових масивів різноманітного походження. Їх головною ознакою є природність (naturalness). Природний числовий масив (ПЧМ) є таким тоді і тільки тоді, коли він відповідає двом вимогам:

1. Віддзеркалює процес чи явище, що не зазнали штучних (навмисних) регламентацій, а склалися відповідно до своєї внутрішньої логіки („стихійно”, „самі по собі”);
2. Якщо протокол, у якому зафіксовано числа, є позбавленим випадкових помилок чи навмисне не спотвореним (фальсифікованим).

Формула Бенфорда засвідчує: числа, першою цифрою яких є 1, зустрічаються набагато частіше, ніж числа, що починаються з 9 (відповідно 30,1% і 4,6%); решта перших цифр (від 2 до 8) посідають проміжні позиції. Якщо частість перших цифр відхиляється від формули Бенфорда, за межі статистичної похибки, маємо підстави говорити про аномальність числового масиву. Ця закономірність, крім природних явищ, поширюється також на те, що пов’язане з діяльністю людини: ознаки ПЧМ мають „чесні” податкові декларації, характеристики структури і діяльності „правильних” банків і т. ін. (див. нашу публікацію в "Голосі України”, 2009, № 10). До ПЧМ належать і несфальшовані виборчі протоколи.

2. Після оголошення 26 січня остаточних підсумків 1-го туру президентських виборів ми (беручи до уваги трудомісткість дослідження і стислі терміни для узагальнення та опублікування його підсумків) з 18 індивідуальних електоральних здобутків зупинилися на 8. Йдеться про кандидатів на посаду президента, імена яких загальновідомі, а політичні постаті фактично визначали характерні риси виборів-2010: В. Януковича, Ю. Тимошенко, С. Тігіпко, А. Яценюка, В. Ющенка, П. Симоненка, В. Литвина та А. Гриценка. Поза сумнівом, з експертної точки зору найінформативнішими є матеріали, які стосуються переможців: лідера опозиції та чинного прем’єр-міністра. По-перше, існування в Україні двох потужних політичних сил, які мають найбільшу підтримку виборців, але розмежовані географічно, дає змогу виокремити два електоральні макрорегіони і порівняти експертні матеріали щодо кожного з них. Макрорегіон А: 17 виборчих округів, в яких найбільше голосів набрав В. Янукович. Макрорегіон Б: 106 виборчих округів, в яких зафіксована перемога Ю. Тимошенко. По-друге, йдеться про те, що рівень аномальності цифрограм двох переможців є найвищим (точніше – фантастично високим) саме в них "удома”. По-третє, цифрограми електоральних здобутків ЯВФ та ТЮВ, сказати б, волають (російською – вопиют) про аномальність (і те, що за нею ховається). Порівнюючи рис. 1 і рис. 2, бачимо скандальний брак одиниць і двійок (котрим за формулою Бенфорда належать чільні місця), неприродно високі "горби” в середині цифрограм і набагато спокійніші "хвости” (особливо в електоральному регіоні Б, прихильному до ТЮВ).

Увага! Верхню межу статистичної похибки, зумовленої випадковістю (чи несистемними помилками при підрахунку бюлетенів або оформлені протоколів) визначає т.зв. критерій Пірсона. Ця межа не перевищує позначки 6 – відтак критерії на рівні 100 (цифрограма лідера опозиції), а тим більше 134 (цифрограма його опонентки) є унікальними з’явами, з якими нечасто стикаються навіть дослідники, фахово причетні до математичної статистики. В обох випадках ймовірність того, що йдеться про випадковість, є меншою, ніж 1:1000000, а ймовірність того, що маємо справу з чимось гіршим, перевищує 999999:1000000. Багато важить інформація, про яку дізнаємося з цифрограм на рис. 3 і 4. Вони подібні, як близнюки: надмір одиниць, поміркований дефіцит трійок і довгий дрібнохвилястий „хвіст” (що загалом спричиняє критерій Пірсона набагато менший, ніж на рис. 1 і 2, але достатній, щоб не говорити про випадковість). А найголовнішим є те, що така цифрограма (ризикнемо назвати її портретом постраждалого) є типовою. Бачимо їй подібні – з невеликими варіаціями – на електоральних цифрограмах С. Тігіпка (в регіонах А та Б), А. Яценюка (регіон Б), В. Ющенка (регіон А), В. Литвина (регіон А), А. Гриценка (регіон Б). Якщо говорити про часткову подібність, зумовлену насамперед відсутністю виразного "горба” в середині цифрограми, то можемо до цього переліку долучити ще електоральні цифрограми А. Яценюка (регіон А), П. Симоненка (регіон Б) і А. Гриценка (регіон А). В таблиці наводимо критерії Пірсона стосовно цифрограм шести кандидатів, розташувавши їх у порядку зростання аномальності (за сумою критеріїв у макрорегіонах А та Б).
3. Загальна кількість набраних голосів і цифрограма ніяк не пов’язані між собою при нормальному перебігу голосування. Якщо мало місце фальшування, показники аномальності ("якість") є пропорційними незаконним електоральним утратам чи здобуткам ("кількість”).

Проста аналогія: той, хто при зважуванні 200 гр. ковбаси украв 100 гр., робить свою маніпуляцію дуже помітною, але може зробити це безкарно, зважуючи 1 кг. І навпаки: той, хто додає 100 гр. до власних 100 гр., помітно багатіє, але додавши 100 гр. до 1 кг, може лишитися непоміченим.

Отже, величина критеріїв, наведена в таблиці, залежить від співвідношення того, "скільки було” і "скільки стало”. Маємо взяти це до уваги з одним суттєвим застереженням: цифрограми не дають змоги розрізнити "донорів” (тих, у кого вкрали голоси) і "реципієнтів” (тих, хто привласнив украдене). Мусимо змиритися: кожний дослідницький метод має межу інформативності. Втім, справа не безнадійна; там, де не має перспектив лобова атака, можна здійснити обхідний маневр і з великою вірогідністю ідентифікувати "донорів”, "реципієнтів” і виборчі округи, в межах яких чинилися махінації.

Поділ виборчих округів на 2 макрорегіони А і Б кардинально зменшує невизначеність. Якщо аномалії є (а вони є), і якщо їх джерелом є фальсифікації (а надвисокі критерії Пірсона свідчать на користь такого припущення), логічною є гіпотеза, що все це діється на користь регіонального переможця. Вибори без вибору є безумовним соціально-політичним злом, а електоральні фальшування відіграють у цьому не останню роль. Тіньова політика є різновидом тіньової економіки і майже завжди спирається на корупційні гроші. Ці гуманітарні абстракції реалізуються конкретними людьми, у конкретних містах і селах, але принципи судочинства вимагають, щоб кожного ловили за руку.

Фіксуючи наявність аномалії/фальшування і за допомогою непрямих доказів виявляючи крадія, лишаємо його в доброму гуморі: на кримінал така ситуація не „тягне”, а мораль, етика і суспільна легітимність цікавлять не всіх. Глухий кут? Не зовсім. Повертаючись до рис. 1 і 2, називаємо виборчі округи (№ та регіони), які творять на цифрограмах аномальні "горби”, супутники фальші.

На жаль, експертиза за Бенфордом не дозволяє змішаний перелік округів розділити на причетні та непричетні до аномальності. Мусимо розуміти, що кожний метод має межі застосування.

4. Авторів цієї статті принцип Бенфорда цікавить як феномен чистої математики. Цьому присвячена наша брошура (Київ, 2000, 62 с.), в якій немає жодної згадки про електоральні проблеми. Проте практичне використання аналізу цифрограм не суперечить академічній науці.

Узагальнюючи проведені дослідження, можемо сформулювати такі висновки:

1. Надвисокий рівень математичних аномалій в офіційних протоколах переможців 1-го туру в макрорегіонах А і Б дає підстави для припущення про фальсифікації як один із чинників електоральних здобутків В. Януковича.
2. Високий рівень аномальності разом із специфічною формою цифрограм електоральних здобутків може свідчити, що С. Тігіпко, В. Яценюк, В. Ющенко, П. Симоненко, В. Литвин та А. Гриценко в макрорегонах А і Б стали донорами голосів для обох переможців 1-го туру.
3. Заяви незалежних спостерігачів про демократичний характер наших виборів засвідчують насамперед зовнішні ознаки роботи на виборчих дільницях і, на жаль, лишають поза увагою те, що діялося "в тіні”.
4. Перебуваючи поза політикою, ми, виконавці експертного дослідження, водночас не можемо вважати морально легітимним майбутнього президента України незалежно від його прізвища.

Володимир Войтенко, професор, заслужений діяч науки та техніки, лауреат Державної премії України, Олександр Ходзінський, кандидат фізико-математичних наук

Левый берег